Ba Vectơ Đồng Phẳng Khi Nào

Ba vectơ a→ ; b→ và c→ đồng phẳng nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:

Cách tìm điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng (hay, chi tiết)

Bài viết Cách tìm điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng.

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học

Cách tìm điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng (hay, chi tiết)

* Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách:

- Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.

- Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n ∈ R: c→ = ma→ + nb→ thì a→ ; b→ ; c→ đồng phẳng.

+ Để phân tích một vectơ x ⃗ theo ba vectơ a→; b→; c→ không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho: x→ = ma→ + nb→ + pc→ .

Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’A’ và BCC’B’. Khẳng định nào sau đây sai?

A. IK→ = (1/2)AC→ = (1/2)A'C'→

B. Bốn điểm I; K; C; A đồng phẳng.

D. Ba vectơ BD→ ; IK→ ; B'C'→ không đồng phẳng.

+ A đúng do tính chất đường trung bình trong tam giác A’BC’ và tính chất của hình bình hành ACC’A’.

+ B đúng do IK là đường trung bình của tam giác AB’C nên IK // AC

⇒ bốn điểm I; K; C; A đồng phẳng.

+ D sai do giá của ba vectơ BD→ ; IK→ ; B'C'→ đều song song hoặc trùng với mặt phẳng . Do đó, theo định nghĩa sự đồng phẳng của các vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng.

Ví dụ 2: Cho ba vectơ a→ ; b→ ; c→ không đồng phẳng. Xét các vectơ x→ = 2a→ + b→, y→ = a→ - b→ - c→, z→ = -3b→ - 2c→. Chọn khẳng định đúng?

A. Ba vectơ x→, y→, z→ đồng phẳng

D. Ba vectơ x→, y→, z→ đôi một cùng phương

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình hành BCGF. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

+ Xét tam giác FAC có I; K lần lượt là trung điểm của AF và FC nên IK là đường trung bình của tam giác.

⇒ IK // AC nên IK // mp (ABCD) .

Ví dụ 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Nếu giá của ba vectơ a→; b→; c→ cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng.

B. Nếu trong ba vectơ a→; b→; c→ có một vectơ 0→ thì ba vectơ đó đồng phẳng.

C. Nếu giá của ba vectơ a→; b→; c→ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.

D. Nếu trong ba vectơ a→; b→; c→ có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng.

Ví dụ hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có giá ba vecto AB→; AD→ và AA'→ đôi một cắt nhau nhưng ba vecto đó không đồng phẳng.

Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’A’ và BCC’B’. Khẳng định nào sau đây sai ?

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M; N sao cho AM= 3MD; BN= 3NC. Gọi P; Q lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Các vectơ BD→, AC→, MN→ đồng phẳng.

B. Các vectơ MN→, DC→, PQ→ đồng phẳng.

C. Các vectơ AB→, DC→, PQ→ đồng phẳng.

D. Các vectơ AB→, DC→, MN→ đồng phẳng.

Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD ; BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Các vectơ AB→, DC→, MN→ đồng phẳng

B. Các vectơ AB→, AC→, MN→ không đồng phẳng

C. Các vectơ AN→, CM→, MN→ đồng phẳng

D. Các vectơ BD→, AC→, MN→ đồng phẳng

A. Đúng vì MN→ = (1/2)(AB→ + DC→)

B. Đúng vì từ N ta dựng véctơ bằng véctơ MN→ thì MN→ không nằm trong mặt phẳng ( ABC) .

C. Sai. Tương tự đáp án B thì AN→ không nằm trong mặt phẳng (CMN) .

D. Đúng vì MN→ = (1/2)(AC→ + BD→)

Câu 1: Cho ba vectơ a→, b→, c→ không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Các vectơ x→ = a→ + b→ + 2c→, y→ = 2a→ - 3b→ - 6c→, z→ = -a→ + 3b→ + 6c→ đồng phẳng.

B. Các vectơ x→ = a→ - 2b→ + 4c→, y→ = 3a→ - 3b→ + 2c→, z→ = 2a→ - 3b→ - 3c→ đồng phẳng.

C. Các vectơ x→ = a→ + b→ + c→, y→ = 2a→ - 3b→ + c→, z→ = -a→ + 3b→ + 3c→ đồng phẳng.

D. Các vectơ x→ = a→ + b→ - c→, y→ = 2a→ - b→ + 3c→, z→ = -a→ - b→ + 2c→ đồng phẳng.

Các vectơ x→, y→, z→ đồng phẳng ⇔ ∃ m, n: x→ = my→ + nz→

Câu 2: Gọi M ; N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: PI→ = k(PA→ + PB→ + PC→ + PD→)

A. k = 4                  B. k = 1/2                  C. k = 1/4                  D. k = 2

Do M ; N lần lượt là trung điểm của AC ; BD nên ta có:

Câu 3: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. Vì I là trung điểm đoạn AB nên từ O bất kì ta có: OI→ = (1/2) (OA→ + OB→)

B. Vì AB→ + BC→ + CD→ + DA→ = 0→ nên bốn điểm A : B ; C ; D đồng phẳng

C. Vì NM→ + NP→ = 0→ nên N là trung điểm đoạn NP

D. Từ hệ thức AB→ = 2AC→ - 8AD→ ta suy ra ba vectơ AB→, AC→, AD→ đồng phẳng

Do AB→ + BC→ + CD→ + DA→ = 0→ đúng với mọi điểm A : B ; C ; D nên câu B sai

Câu 4: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

A. Từ AB→ = 3AC→ ta suy ra BA→ = -3CA→

B. Nếu AB→ = (-1/2)BC→ thì B là trung điểm đoạn AC.

C. Vì AB→ = -2AC→ + 5AD→ nên bốn điểm A ; B ; C ; D đồng phẳng

D. Từ AB→ = -3AC→ ta suy ra CB→ = 2AC→ .

+ Phương án A: Nếu AB→ = 3AC→ thì BA→ = 3CA→ ⇒ A sai.

+ Phương án B: nếu AB→ = (-1/2)BC→ thì A là trung điểm của BC. ⇒ B sai

Suy ra: AB→, AC→, AD→ hay bốn điểm A : B ; C ; D đồng phẳng. ⇒ C đúng

+ Nếu AB→ = -3AC→ thì AC→ + CB→ = -3AC→ hay CB→ = -4AC→ nên D sai.

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SC; SB, AB và AC. Tìm mệnh đề sai ?

A. Hai vecto MN→ và PQ→ cùng phương

B. Ba vecto MN→; PQ→ và BC→ đồng phẳng

C. Ba vecto MN→; BC→ và AC→ đồng phẳng

+ Xét tam giác SBC có M và N lần lượt là trung điểm của SC và SB nên MN là đường trung bình của tam giác SBC.

⇒ MN là đường trung bình của tam giác.

⇒ MN // BC; MN = 1/2 BC     (1)

+ Tương tự; ta chứng minh được PQ là đường trung bình của tam giác ABC

⇒ PQ // BC; PQ = 1/2 BC     (2)

Từ (1) và ( 2) suy ra: MN//PQ nên Hai vecto MN→ và PQ→ cùng phương .

Bài 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH. Gọi K là giao điểm AH và DE, I là giao điểm của DF và BH. Chứng minh rằng ba vectơ AC→,KI→,FG→ đồng phẳng.

Bài 2. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AA’, A’B’, B’C’, BC, CC’. Chứng minh rằng: Ba vectơ MN→,PQ→,RS→ đồng phẳng trong đó I là tâm của hình bình hành ABB’A’ và K là tâm của hình bình hành ADD’A.

Bài 3. Cho tam giác ABC. Lấy một điểm S ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho MS→=−2MA→ và trên đoạn thẳng BC lấy điểm N sao cho NB→=−12NC→. Chứng minh ba vectơ AB→,MN→,SC→ đồng phẳng.

Bài 4. Cho tứ diện ABCD: P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hai điểm M, N lần lượt chia hai đoạn thẳng BC và AD theo cùng một tỉ số k. Chứng minh rằng bốn điểm P, Q, M, N nằm trên một mặt phẳng.

Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. chứng minh rằng 3 véctơ BC→,AD→,MN→ đồng phẳng.